probabilidade e estatística. arranjo , definição e partição.

Combinação: quando é necessário ESCOLHER elementos 
Permutação: ORDENAR elementos 
Arranjo: combinação + permutação (escolher e combinar)" 

Exercícios de arranjo.

1.    Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita. Trata-se de um agrupamento de 15 pessoas tomadas 2 a 2.

Resposta Questão 1

Os cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.

2.    Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.

O número 2 deve ser fixado na 1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6.

Resposta Questão 2

Podemos formar 20.160 números de telefones com os algarismos distintos e que comecem com 2 e terminem com 8.

3.     Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

Resposta Questão 3

O sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 algarismos.

4.    Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6.

Resposta Questão 4

5.     Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

Resposta Questão 5:

   

Os exercícios de análise combinatória podem ser resolvidos por arranjo ou combinação, mas como identificar qual dos dois agrupamentos o exercício está se referindo? Para isso é preciso que coloquemos em prática alguns critérios que ajudarão nessa identificação. 

Esses critérios são aplicados da seguinte forma: Em um problema de análise combinatória iremos encontrar vários agrupamentos, monte pelo menos um deles e modifique a ordem dos elementos desse agrupamento. 

Se depois da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema será de arranjo. 

Se depois da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será de combinação, ou seja, mesmo se os elementos em ordem diferentes continuar identificando o mesmo agrupamento. 

Veja como funciona a aplicação desse critério: 

Considere nove pontos diferentes de uma circunferência, conforme a figura. 

Quantas retas ficam determinadas por esses nove pontos? 

Pra descobrir se o exercício é de arranjo ou combinação é preciso que montemos pelo menos um dos agrupamentos (reta). 
Uma reta é formada por, no mínino, 2 pontos, como os pontos não são colineares podemos unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação. 

Assim, aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2. 

C_9,2 = 9! 
          2! (9-2)! 

C_9,2 =  9 . 8 . 7! 
              2 . 1 . 7! 

C_9,2 = 72 
              2 

C9,2 = 36 

Serão formados com os 9 pontos da circunferências 36 retas.

(1)  Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.

Resposta Questão 1

Comissão de alunas será dada por: C_11,4
Comissão de alunos será composta por: C_7,3

O número de comissões, respeitando a condição imposta, será de 11 550.

(2)   Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado.

Resposta Questão 2

Goleiros: C_{3,1
Zagueiros: C8,4}
Meio campistas: C_{10,4
Atacantes: C6,2}

C_3,1 * C_8,4 * C_10,4 * C_6,2 = 3 * 70 * 210 * 15 = 661 500 maneiras de o  time ser formado

(3)  Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.

Resposta Questão 3

C_8,3

O pesquisador pode realizar a escolha de 56 maneiras.

(4)  o jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Considerando-se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e que desses, 2 são titulares absolutos, determine o número de equipes que o técnico poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer posição.

Resposta Questão 4

Dos 12 jogadores, 2 são titulares absolutos, então teremos 10 jogadores disputando 3 vagas. Portanto, temos a seguinte combinação: C_{10, 3}.

O treinador poderá formar 120 equipes.

(5)  Doze equipes participarão de um torneio internacional de vôlei; os participantes foram divididos em dois grupos de seis equipes cada. A fase classificatória deste torneio prevê a realização de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe jogará contra os adversários do seu próprio grupo e, no segundo, as equipes enfrentarão os times do outro grupo. Ao término da fase de classificação, os dois primeiros colocados de cada grupo avançarão para a fase final, que será disputada em turno único, num só grupo, com cada classificado jogando contra todos os outros times. O time que obtiver a primeira colocação na fase final será declarado campeão do torneio. De acordo com este regulamento, o total de jogos realizados durante o torneio é igual a:

Resposta Questão 5.

72 Jogos.

Importância do Conceito de Partição

A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia.  Ao se particionar um evento, é possível calcular a sua probabilidade (P) somando-se P dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor da P dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°). Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio conceito de probabilidade.

População e Amostra

Ao conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo menos uma característica em comum, denominamos de população estatística ou de universo estatístico

Ex: estudantes, os brasileiros que votam, as peças produzidas em um determinado setor.

Uma Amostra é subconjunto finito não vazio de uma população estatística.

Exemplos: apenas estudantes universitários, Apenas os eleitores do sul do pais, apenas peças produzidas na última semana do mês,

Para obtermos previsões válidas sobre um determinado problema quase nunca utilizamos todos os elementos da população, trabalhamos apenas com amostras desta população.

Exemplo – Previsão baseada em amostra

Antes de uma eleição, os institutos de pesquisa entrevistaram 2000 pessoas e, com base em suas respostas, conseguem prever o resultado da eleição.

Importância do Conceito de Partição

A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia.

Ao se particionar um evento, é possível calcular a sua probabilidade (P)  somando-se P dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor da P dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°).

Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio conceito de probabilidade.

Evento Complementar

Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω.

Chamamos evento complementar de  E-   ao evento que ocorre quando E não ocorre. 

Observe o seguinte diagrama:

E   ∩  E-        =  ∅

E   ∪   E-       =  Ω

Exemplo

Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então E-  será?

Temos:       Ω = {1, 2, 3, ..., 10}   e   E = {3, 6, 9};  logo:

E-   = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}   evento “não ocorre múltiplo de 3”.

E  ∪   E-    =  Ω

Probabilidades em Espaços Amostrais Equiprováveis

Consideremos o espaço amostral  Ω  formado por k pontos amostrais:  Ω = {a₁, a₂, a₃, ..., a_k }    

Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um número real, p{a_i }, ou simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {a_i }, ou seja, probabilidade de ocorrência do ponto amostral a_i, tal que:

(I) 0  ≤  p_i  ≤ 1

 

(II) =             = 1 , isto é:

p₁ + p₂ + ... + p_k = 1   

Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω, temos, em (II):

K vezes

p + p + p + ... + p = 1    è    k . p = 1   è     p = 1/k

A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a1, a2, a3, ..., ar } , com  r ≤ k, é dada por:  

p (E) = p1 + p2 + ... + Pr     è    p(E) =  1/k   + 1/k  + 1/k  + ... + 1/k

 

p (E) = 

Como E  ⊂  Ω,  temos que  n(E) ≤ n(Ω).

Assim:

 

p(E) =               |  0  ≤  p(E)  ≤ 1

A probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

 

No lançamento de um dado, se o evento A consiste em obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado honesto só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço amostral é: 

 Ω =  {1,2,3,4,5,6} 

E a probabilidade do evento A será: p (A) = 1/6.

Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá o número “5”.

Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez ou que saia mais de uma vez. 

A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento um número grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas,

Exemplo1

Uma urna contem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com numero maior ou igual a 11?

Temos:  Ω = {1, 2,  3,...,15}

Assim, p(E) = n(E)/n(Ω) = 5/15 = 1/3 = 33,3%

Exemplo 2

Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser:

a)      Menor que 3?

Temos Ω = {1,2,3,4,5,6}

E = {1,2} Entao, p (E) = 2/6 = 1/3

b)      Maior ou igual a 3?

Basta considerar o evento complementar:  = {3,4,5,6}

Assim p(E-) = n(E-)/n(Ω) = 4/6 = 2/3

Note que p(E) + p(E-) = 1, isto é 100%

Exemplo 3

Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:

A)     Exatamente uma cara?

Diagrama de arvore

            p(E1) =  3/8   = 37,5%

B)      No máximo duas cara?

E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)}

p(E2) =  7/8    = 87,5%.

Exemplo 4

Exemplo 4: Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos?

Solução:

Comissões total: n(Ω) = C_45,5

Comissões só de meninos = C20,5

P(E) =C20,5/C45,5           =  0,0126 = 1,26%

Exemplo 5:

Nos anagramas da palavra XADREZ, qual a probabilidade da palavra escolhida começar por XA?

Solução:

O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ.

Então, n(Ω) = P₆ = 6! = 720.

O evento E = X A __ __ __ __

Definidas as duas primeiras letras, há P4 = 4! = 24

Logo: p(E) =  24/720   = 3,33%

Exemplo 6:

Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que:

• 25 pessoas consomem carnes e verduras

• 83 pessoas consomem verduras

• 39 pessoas consomem carnes

Qual é a probabilidade de uma pessoa:

a) Consumir exclusivamente carne?

b) De não comer nem carne nem verdura?

Solução:

Diagrama de Venn Euler: carne (C) e verdura (V). 

1)      Há 25 pessoas na intersação de C e V.

2)      Consomem exclusivamente verduras: 83 -25 = 58

3)      Consome exclusivamente carnes: 39-25 = 14

4)      25+58+14 = 97, ou seja, 3 não comem carnes nem verduras.

Exclusivamente carne = 14/100 = 14%

Não comem carne nem verdura = 3/100 = 3%