Combinação: quando é necessário ESCOLHER elementos
Permutação:
ORDENAR elementos
Arranjo:
combinação + permutação (escolher e combinar)"
Exercícios de arranjo.
1.
Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as
vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos através do
voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas
maneiras distintas essa escolha pode ser feita. Trata-se de um agrupamento de
15 pessoas tomadas 2 a 2.
Resposta Questão 1
Os
cargos poderão ser ocupados de 210 maneiras distintas.
2.
Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine
quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que
comecem com 2 e terminem com 8.
O número 2 deve ser fixado na
1ª posição e o 8 na última. Restaram, por tanto, 6 posições e 8 algarismos,
pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos
diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 6 a 6.
Resposta Questão 2
Podemos
formar 20.160 números de telefones com os algarismos distintos e que comecem
com 2 e terminem com 8.
3.
Em uma urna de
sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de
possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência
de 6 algarismos.
Resposta Questão 3
O
sorteio terá 151.200 possibilidades de sequência de 6 algarismos.
4.
Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro
filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos
possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.Sabemos que 1 ano é
composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do
arranjo de 12, tomados 6 a 6.
Resposta Questão 4
5. Em uma urna de
sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número de
possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência
de 6 algarismos.
Resposta
Questão 5:
Os exercícios de análise combinatória podem ser resolvidos
por arranjo ou combinação, mas como identificar qual dos dois agrupamentos o
exercício está se referindo? Para isso é preciso que coloquemos em prática
alguns critérios que ajudarão nessa identificação.
Esses
critérios são aplicados da seguinte forma: Em um problema de análise
combinatória iremos encontrar vários agrupamentos, monte pelo menos um deles e
modifique a ordem dos elementos desse agrupamento.
Se depois
da mudança tiver formado um agrupamento diferente, esse problema será de
arranjo.
Se depois
da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será de combinação,
ou seja, mesmo se os elementos em ordem diferentes continuar identificando o
mesmo agrupamento.
Veja como
funciona a aplicação desse critério:
Considere
nove pontos diferentes de uma circunferência, conforme a figura.
Quantas
retas ficam determinadas por esses nove pontos?
Pra
descobrir se o exercício é de arranjo ou combinação é preciso que montemos pelo
menos um dos agrupamentos (reta).
Uma reta
é formada por, no mínino, 2 pontos, como os pontos não são colineares podemos
unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se
trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo
a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação.
Assim,
aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2.
C9,2 = 9!
2! (9-2)!
C9,2 = 9 . 8 . 7!
2 . 1 . 7!
C9,2 = 72
2
C9,2 = 36
Serão
formados com os 9 pontos da circunferências 36 retas.
(1) Em uma sala de aula existem 12 alunas,
onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde um deles atende pelo nome
de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número
de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.
Resposta
Questão 1
Comissão
de alunas será dada por: C11,4
Comissão de alunos será composta por: C7,3
O
número de comissões, respeitando a condição imposta, será de 11 550.
(2) Um time
de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio
campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8
zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras
possíveis que esse time pode ser formado.
Resposta
Questão 2
Goleiros: C3,1
Zagueiros: C8,4
Meio campistas: C10,4
Atacantes: C6,2
C3,1 * C8,4 * C10,4 * C6,2 = 3 * 70 * 210 * 15 = 661 500 maneiras
de o time ser formado
(3) Um pesquisador científico precisa escolher três
cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode
realizar a escolha.
Resposta Questão 3
C8,3
O
pesquisador pode realizar a escolha de 56 maneiras.
(4) o jogo de basquetebol, cada time entra em
quadra com cinco jogadores. Considerando-se que um time para disputar um
campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e que desses, 2 são titulares
absolutos, determine o número de equipes que o técnico poderá formar com o
restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer posição.
Resposta Questão 4
Dos 12
jogadores, 2 são titulares absolutos, então teremos 10 jogadores disputando 3
vagas. Portanto, temos a seguinte combinação: C10, 3.
O
treinador poderá formar 120 equipes.
(5) Doze
equipes participarão de um torneio internacional de vôlei; os participantes
foram divididos em dois grupos de seis equipes cada. A fase classificatória
deste torneio prevê a realização de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe
jogará contra os adversários do seu próprio grupo e, no segundo, as equipes
enfrentarão os times do outro grupo. Ao término da fase de classificação, os
dois primeiros colocados de cada grupo avançarão para a fase final, que será
disputada em turno único, num só grupo, com cada classificado jogando contra
todos os outros times. O time que obtiver a primeira colocação na fase final
será declarado campeão do torneio. De acordo com este regulamento, o total de
jogos realizados durante o torneio é igual a:
Resposta
Questão 5.
72 Jogos.
Importância do
Conceito de Partição
A partição de um conjunto é uma
coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a
interseção de quaisquer dois deles é vazia.
Ao se particionar um evento, é possível calcular a sua probabilidade (P)
somando-se P dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor da P
dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°). Através do particionamento de
conjuntos, é possível não apenas calcular a probabilidade de eventos a partir
de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades
e implicações do próprio conceito de probabilidade.
População e Amostra
Ao conjunto ou grupo de indivíduos que possuem pelo menos uma
característica em comum, denominamos de população estatística ou de universo
estatístico
Ex: estudantes, os brasileiros que votam, as peças produzidas em um
determinado setor.
Uma Amostra é subconjunto finito não vazio de uma população
estatística.
Exemplos: apenas estudantes universitários, Apenas os eleitores do sul
do pais, apenas peças produzidas na última semana do mês,
Para obtermos previsões válidas sobre um determinado problema quase
nunca utilizamos todos os elementos da população, trabalhamos apenas com
amostras desta população.
Exemplo – Previsão baseada em amostra
Antes de uma eleição, os institutos de pesquisa entrevistaram 2000
pessoas e, com base em suas respostas, conseguem prever o resultado da eleição.
Importância do Conceito de Partição
A partição de um conjunto é uma
coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a
interseção de quaisquer dois deles é vazia.
Ao se particionar um evento, é
possível calcular a sua probabilidade (P) somando-se P dos eventos da partição.
Para isso é necessário apenas dispor da P dos elementos da partição
(vide Axiomas 4° e 5°).
Através do particionamento de
conjuntos, é possível não apenas calcular a probabilidade de eventos a partir
de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades
e implicações do próprio conceito de probabilidade.
Evento Complementar
Consideremos um evento E
relativo a um espaço amostral Ω.
Chamamos evento complementar
de E-
ao evento que ocorre quando E não ocorre.
Observe o seguinte diagrama:
E ∩ E-
= ∅
E ∪ E-
= Ω
Exemplo
Uma urna contém 10 bolas
numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o
evento “ocorre múltiplo de 3”, então E-
será?
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E
= {3, 6, 9}; logo:
E- = {1, 2, 4, 5, 7, 8,
10} evento “não ocorre múltiplo de 3”.
E ∪
E-
= Ω
Probabilidades em Espaços Amostrais Equiprováveis
Consideremos o espaço
amostral Ω formado por k pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3,
..., ak }
Vamos associar a cada um desses
pontos amostrais um número real, p{ai }, ou simplesmente pi,
chamado probabilidade do evento {ai }, ou seja, probabilidade
de ocorrência do ponto amostral ai, tal que:
(I) 0 ≤ pi ≤ 1
(II) = = 1 , isto é:
p1 + p2 + ... + pk = 1
Consideremos aqui os espaços
amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma
probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de
ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω, temos, em (II):
K vezes
p + p + p + ... + p = 1 è k .
p = 1 è p
= 1/k
A probabilidade de ocorrência
de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a1,
a2, a3, ..., ar } , com r ≤
k, é dada por:
p (E) = p1 + p2 + ... + Pr
è p(E) =
1/k + 1/k + 1/k
+ ... + 1/k
p (E) =
Como E ⊂
Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω).
Assim:
p(E) = | 0 ≤
p(E) ≤ 1
A probabilidade de ocorrer
determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o
número de casos possíveis.
No lançamento de um dado, se o
evento A consiste em obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1,
pois num dado honesto só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6,
portanto o espaço amostral é:
Ω =
{1,2,3,4,5,6}
E a probabilidade do evento A
será: p (A) = 1/6.
Quando dizemos que a
probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado
seis vezes, em uma delas sairá o número “5”.
Pode ser que o número “5” não
saia nenhuma vez ou que saia mais de uma vez.
A probabilidade 1/6 indica
apenas que, se repetirmos esse experimento um número grande de vezes, o evento
A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas,
Exemplo1
Uma urna contem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao
acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com numero maior ou igual
a 11?
Temos: Ω = {1, 2, 3,...,15}
Assim, p(E) = n(E)/n(Ω) = 5/15
= 1/3 = 33,3%
Exemplo 2
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual
a probabilidade desse número ser:
a)
Menor que 3?
Temos Ω = {1,2,3,4,5,6}
E = {1,2} Entao, p (E) = 2/6 = 1/3
b) Maior
ou igual a 3?
Basta considerar o evento
complementar: = {3,4,5,6}
Assim p(E-) = n(E-)/n(Ω) = 4/6 = 2/3
Note que p(E) + p(E-) = 1, isto é 100%
Exemplo 3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de
observarmos:
A)
Exatamente uma cara?
Diagrama de arvore
p(E1) = 3/8 =
37,5%
B)
No máximo duas cara?
E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)}
p(E2) = 7/8
= 87,5%.
Exemplo 4
Exemplo 4: Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se
formar uma comissão de cinco alunos para representantes de turma. Qual a
probabilidade dessa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos?
Solução:
Comissões total: n(Ω) = C45,5
Comissões só de meninos = C20,5
P(E) =C20,5/C45,5 =
0,0126 = 1,26%
Exemplo 5:
Nos anagramas da palavra
XADREZ, qual a probabilidade da palavra escolhida começar por XA?
Solução:
O número de elementos de Ω é o
número de permutações da palavra XADREZ.
Então, n(Ω) = P6 =
6! = 720.
O evento E = X A __ __
__ __
Definidas as duas primeiras
letras, há P4 = 4! = 24
Logo: p(E) = 24/720
= 3,33%
Exemplo 6:
Numa comunidade residem 100
pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou
que:
• 25 pessoas consomem carnes e
verduras
• 83 pessoas consomem verduras
• 39 pessoas consomem carnes
Qual é a probabilidade de uma
pessoa:
a) Consumir exclusivamente
carne?
b) De não comer nem carne nem
verdura?
Solução:
Diagrama de Venn Euler: carne (C) e verdura (V).
1)
Há 25 pessoas na intersação de C e V.
2) Consomem
exclusivamente verduras: 83 -25 = 58
3) Consome
exclusivamente carnes: 39-25 = 14
4)
25+58+14 = 97, ou seja, 3 não comem carnes nem
verduras.
Exclusivamente carne = 14/100 = 14%
Não comem carne nem verdura = 3/100 = 3%
